Question

19．如图，点P（x，y₁）与Q（x，y₂）分别是两个函数图象C₁与C₂上的任一点．当a≤x≤b时，有-1≤y₁-y₂≤1成立，则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”，否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”．例如，点P（x，y₁）与Q （x，y₂）分别是两个函数y=3x+1与y=2x-1图象上的任一点，当-3≤x≤-1时，y₁-y₂=（3x+1）-（2x-1）=x+2，通过构造函数y=x+2并研究它在-3≤x≤-1上的性质，得到该函数值的范围是-1≤y≤1，所以-1≤y₁-y₂≤1成立，因此这两个函数在-3≤x≤-1上是“相邻函数”．
（1）判断函数y=3x+2与y=2x+1在-2≤x≤0上是否为“相邻函数”，并说明理由；
（2）若函数y=x²-x与y=x-a在0≤x≤2上是“相邻函数”，求a的取值范围；
（3）若函数y=$\frac{a}{x}$与y=-2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）直接利用相邻函数的定义结合一次函数增减性，得出当x=0时，函数有最大值1，当x=-2时，函数有最小值-1，即-1≤y≤1，进而判断即可；
（2）直接利用相邻函数的定义结合二次函数增减性，得出当x=1时，函数有最小值a-1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a-1≤y≤a，进而判断即可；
（3）直接利用相邻函数的定义结合函数增减性，得出当x=1时，函数有最小值a-2，当x=2时，函数有最大值$\frac{a}{2}$，即a-2≤y≤$\frac{a}{2}$，进而判断最值即可．

解答 解：（1）是“相邻函数”，
理由如下：y₁-y₂=（3x+2）-（2x+1）=x+1，构造函数y=x+1，
∵y=x+1在-2≤x≤0，是随着x的增大而增大，
∴当x=0时，函数有最大值1，当x=-2时，函数有最小值-1，即-1≤y≤1，
∴-1≤y₁-y₂≤1，
即函数y=3x+2与y=2x+1在-2≤x≤0上是“相邻函数”；

（2）y₁-y₂=（x²-x）-（x-a）=x²-2x+a，构造函数y=x²-2x+a，
∵y=x²-2x+a=（x-1）²+（a-1），
∴顶点坐标为：（1，a-1），
又∵抛物线y=x²-2x+a的开口向上，
∴当x=1时，函数有最小值a-1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a-1≤y≤a，
∵函数y=x²-x与y=x-a在0≤x≤2上是“相邻函数”，
∴-1≤y₁-y₂≤1，即$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{a-1≥-1}\end{array}\right.$，
∴0≤a≤1；

（3）y₁-y₂=$\frac{a}{x}$-（-2x+4）=$\frac{a}{x}$+2x-4，构造函数y=$\frac{a}{x}$+2x-4，
∵y=$\frac{a}{x}$+2x-4
∴当x=1时，函数有最小值a-2，
当x=2时，函数有最大值$\frac{a}{2}$，即a-2≤y≤$\frac{a}{2}$，
∵函数y=$\frac{a}{x}$与y=-2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”，
∴-1≤y₁-y₂≤1，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}≤1}\\{a-2≥-1}\end{array}\right.$，
∴1≤a≤2；
∴a的最大值是2，a的最小值1．

点评 此题主要考查了反比例函数综合以及函数增减性和新定义，根据题意正确理解“相邻函数“的定义是解题关键．