Question

16．数学活动课上，小明要解决如下问题：如图所示，在一张长为5cm，宽为4cm的长方形纸片上，要剪下一个腰长为3cm的等腰三角形，且要求剪下的等腰三角形的一个角的顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点在长方形的边上经过探究，小明发现有三种剪裁方案，请你再如图中分别作出三种方案画法的示意图，并求出相应方案中等腰三角形的底边长（结果保留根号）

Answer 1

分析 因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上，（2）一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上，三种情况讨论．

解答 解：（1）当AE=AF=3时，如图1，
EF=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$；

（2）当AE=EF=3时，如图2，
则EB=4-3=1．FB=$\sqrt{E{F}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
则AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$；

（3）当AE=EF=3时，如图3，则ED=5-3=2．
DF=$\sqrt{E{F}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
AF=$\sqrt{A{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{30}$，
综上：等腰三角形的底边长为3$\sqrt{2}$cm，2$\sqrt{6}$cm，$\sqrt{30}$cm．

点评 本题考查了应用与设计作图，解决本题的关键是要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论．