Question

20．已知二次函数y=-（x-h）²+1（为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为-5，则h的值为（　　）

• A． 3-$\sqrt{6}$或1+$\sqrt{6}$
• B． 3-$\sqrt{6}$或3+$\sqrt{6}$
• C． 3+$\sqrt{6}$或1-$\sqrt{6}$
• D． 1-$\sqrt{6}$或1+$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＜h时，y随x的增大而增大、当x＞h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为-5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值-5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值-5，分别列出关于h的方程求解即可．

解答 解：∵当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值-5，
可得：-（1-h）²+1=-5，
解得：h=1-$\sqrt{6}$或h=1+$\sqrt{6}$（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值-5，
可得：-（3-h）²+1=-5，
解得：h=3+$\sqrt{6}$或h=3-$\sqrt{6}$（舍）．
综上，h的值为1-$\sqrt{6}$或3+$\sqrt{6}$，
故选：C．

点评 本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．