Question

12．如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可以与B点或C重合），分别过B，C，D作射线AP的垂线，垂足分别是B'，C'，D'，则BB'+CC'+DD'的最大值与最小值的和为2+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接AC，DP，根据正方形的性质可得出AB=CD，S_{正方形ABCD}=1，由三角形的面积公式即可得出$\frac{1}{2}$AP•（BB′+CC′+DD′）=1，结合AP的取值范围即可得出BB′+CC′+DD′的范围，将其最大值与最小值相加即可得出结论．

解答 解：连接AC，DP，如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的边长为1，
∴AB=CD，S_{正方形ABCD}=1，
∵S_△ADP=$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{2}$，S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_{正方形ABCD}=$\frac{1}{2}$，
∴S_△ADP+S_△ABP+S_△ACP=1，
∴$\frac{1}{2}$AP•BB′+$\frac{1}{2}$AP•CC′+$\frac{1}{2}$AP•DD′=$\frac{1}{2}$AP•（BB′+CC′+DD′）=1，
则BB′+CC′+DD′=$\frac{2}{AP}$，
∵1≤AP≤$\sqrt{2}$，
∴当P与B重合时，有最大值2；当P与C重合时，有最小值 $\sqrt{2}$．
∴$\sqrt{2}$≤BB′+CC′+DD′≤2，
∴BB'+CC'+DD'的最大值与最小值的和为2+$\sqrt{2}$．
故答案为：2+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质以及三角形的面积，根据正方形的性质结合三角形的面积找出BB′+CC′+DD′=$\frac{2}{AP}$是解题的关键．