Question

8．在平面直角坐标系中，一次函数y=-$\frac{3}{4}$x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，坐标原点为点O，△AOB的外心和内心之间的距离为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 根据一次函数解析式求出OB、OA，根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质求出内切圆的半径、外心的坐标，根据勾股定理计算即可．

解答 解：对于y=-$\frac{3}{4}$x+3，
当x=0时，y=3，
y=0时，x=4，
∴OA=4，OB=3，
由勾股定理得，AB=5，
∴△AOB的内切圆的半径=$\frac{3+4-5}{2}$=1，△AOB的外心P在斜边AB的中点，
则点P的坐标为（2，$\frac{3}{2}$），
作PE⊥x轴于E，IF⊥PE于F，
则IF=1，PF=$\frac{1}{2}$，
∴IP=$\sqrt{I{F}^{2}+P{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征、三角形内切圆和内心、外接圆和外心，掌握直角三角形的性质、灵活运用勾股定理是解题的关键．