Question

10．在⊙O中，己知弦BC所对的圆周角∠BAC与圆心角∠BOC互补．
（1）求∠BOC的度数．
（2）若⊙O的半径为4，求弦BC和劣弧BC组成的弓形面积．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理即可得出结论；
（2）过O作OD⊥BC于D，根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．

解答 解：（1）如图，∵∠BOC=2∠A，∠BOC+∠A=180°，
∴∠BOC=120°；
（2）过O作OD⊥BC于D，
∵∠BOC=120°，
∴∠BOD=60°，
∵BO=4，
∴OD=2，BD=2$\sqrt{3}$，
∴BC=4$\sqrt{3}$，
∴弦BC和劣弧BC组成的弓形面积=S_扇形BOC-S_△BOC=$\frac{120•π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×2=$\frac{16π}{3}$-4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．