Question

20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，O为AC的中点．AD为高，OG⊥AC，交AD的延长于G，OB交AD于F，OE⊥OB交BC于E．
（1）求证：△AOG≌△BAC；
（2）求证：△ABF≌△COE；
（3）求证：BC=CE+FG．

Answer 1

分析 （1）根据AAS即可证明△AOG≌△BAC；
（2）先证明∠C=∠BAD=∠G，再证明∠AFB=∠OEC，根据AAS推出即可；
（3）由△AOG≌△BAC，推出BC=AG，由△BAF≌△CEO，推出AF=CE，即可得出答案．

解答 证明：（1）∵AC=2AB，O为AC的中点，
∴AB=AO=OC，
∵∠BAC=90°，OG⊥AC，
∴∠BAC=∠AOG=90°，
∵AD为高，
∴∠C+∠CAD=∠G+∠CAD=90°，
∴∠C=∠G，
在△BAC和△AOG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠AOG}\\{∠C=∠G}\\{AB=AO}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△BAC；
（2）∵∠BAC=∠AOG=90°，
∴∠BAC+∠AOG=180°，
∴AB∥OG，
∴∠G=∠BAD，
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，∠ABC+∠C=90°，
∴∠C=∠BAD，
∴∠C=∠G，
∵OB⊥OE，
∴∠BOE=90°，
∵∠BFA=∠BDA+∠OBE=90°+∠OBE，∠OEC=∠BOE+∠OBE=90°+∠OBE，
∴∠BFA=∠OEC，
在△ABF和△COE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠ECO}\\{∠AFB=∠CEO}\\{AB=OC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△COE（AAS）．
（3）证明：∵△AOG≌△BAC，
∴AG=BC，
∵△ABF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴BC=AG=FG+CE．

点评 本题考查了三角形外角性质，垂直定义以及全等三角形的性质和判定，熟练运用全等三角形的判定方法是解决问题的关键．