Question

10．如图，在一个坡角为30°的斜坡上有一棵树，高为AB，当太阳光与水平面75°角时．测得该树坡上的树影BC的长为4（$\sqrt{3}-1$）米．求树高．

Answer 1

分析 过点B作BE⊥AC于E，以B为顶点，BE为一边，在∠ABE的内部作∠EBN=60°，交AE于N．先由∠D=30°，∠AMH=75°，得出∠DCM=∠AMH-∠D=45°，∠ECB=∠DCM=45°．解Rt△BCE，得出BE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$，解Rt△BNE，得出EN=$\sqrt{3}$BE=6$\sqrt{2}$-2$\sqrt{6}$，BN=2BE=4$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$，再证明∠A=∠ABN=15°，得出AN=BN=4$\sqrt{6}$-4$\sqrt{2}$，然后在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出AB．

解答 解：过点B作BE⊥AC于E，以B为顶点，BE为一边，在∠ABE的内部作∠EBN=60°，交AE于N．
∵∠D=30°，∠AMH=75°，
∴∠DCM=∠AMH-∠D=45°，
∴∠ECB=∠DCM=45°．
在Rt△BCE中，∵∠BEC=90°，∠ECB=45°，BC=4（$\sqrt{3}$-1），
∴BE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$，
在Rt△BNE中，∵∠BEN=90°，∠EBN=60°，
∴∠BNE=30°，
∴EN=$\sqrt{3}$BE=6$\sqrt{2}$-2$\sqrt{6}$，BN=2BE=4$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$，∵∠BNE=30°，∠A=90°-∠AMH=15°，
∴∠ABN=∠BNE-∠A=15°，
∴AN=BN=4$\sqrt{6}$-4$\sqrt{2}$，
在Rt△ABE中，∵∠BEA=90°，BE=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$，AE=2$\sqrt{6}$+2$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=8（米），
答：树高为8米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．