Question

2．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，△BPE和△CQE的形状有什么关系，请证明；
（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，△BPE和△CQE有什么关系，说明理由；
（3）当BP=1，CQ=$\frac{9}{2}$时，求P、Q两点间的距离．

Answer 1

分析 （1）依据△ABC是等腰直角三角形，E是BC的中点，运用SAS即可判定△BPE≌△CQE；
（2）依据∠B=∠C=∠DEF=45°，即可得到∠BEP=∠EQC，再根据∠B=∠C，即可判定△BPE∽△CEQ；
（3）先根据△BPE∽△CEQ，得到$\frac{BP}{CE}$=$\frac{BE}{CQ}$，进而得到BE=CE=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$，最后根据勾股定理，求得Rt△APQ中，PQ=$\sqrt{A{Q}^{2}+A{P}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．

解答 解：（1）△BPE≌△CQE．
理由∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，
∵AP=AQ，
∴BP=CQ，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
在△BPE和△CQE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BP=CQ}\\{∠B=∠C}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BPE≌△CQE（SAS）；

（2）△BPE∽△CEQ．
理由：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CEQ；

（3）如图②，连结PQ，
∵△BPE∽△CEQ，
∴$\frac{BP}{CE}$=$\frac{BE}{CQ}$，
∵BP=1，CQ=$\frac{9}{2}$，BE=CE，
∴$\frac{1}{CE}$=$\frac{CE}{\frac{9}{2}}$，
∴BE=CE=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴BC=3$\sqrt{2}$，
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴AB=AC=3，
∴AQ=CQ-AC=$\frac{3}{2}$，PA=AB-BP=2，
在Rt△APQ中，PQ=$\sqrt{A{Q}^{2}+A{P}^{2}}$=$\frac{5}{2}$．

点评 本题属于几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是辅助线构造直角三角形，依据相似三角形的对应边成比例，列式计算求得BE，CE的长，并运用勾股定理进行计算．