(Ⅰ)已知两个正数x.y满足x+y=7.则$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$的最小值为$\sqrt{74}$．此时x的值为$\frac{14}{5}$．(提示:若借助网格或坐标系.就可以从数形结合的角度来看$\sqrt{{x}^{2}+4}$.例如可以把$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$看做边长为3和4的直角三角形的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．

（Ⅰ）已知两个正数x、y满足x+y=7，则$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$的最小值为$\sqrt{74}$．此时x的值为$\frac{14}{5}$．（提示：若借助网格或坐标系，就可以从数形结合的角度来看$\sqrt{{x}^{2}+4}$，例如可以把$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$看做边长为3和4的直角三角形的斜边）．
（Ⅱ）如图，在每个边长为1的正方形网格中，点A、B均在格点上，且AB=7，请你在线段AB上找到一点P，使AP的长为（Ⅰ）中所求的x．

分析先作图构建两个直角三角形：△ACP和△BDP，并作点C关于AB的对称点C′，根据两点之间，线段最短可知$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$的最小值就是线段C′D的长，并根据平行相似求出x的值．

解答解：（I）过A、B两点分别作AB的垂线AC和BD，且AC=2，BD=3，
作点C关于AB的对称点C′，连接C′D交AB于P，连接CP，
则CP=C′P，
设AP=x，BP=y，则y=7-x，
由勾股定理得：CP=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，PD=$\sqrt{{y}^{2}+9}$，
则此时$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$的值最小，
∴C′D=C′P+DP=CP+DP=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$=$\sqrt{{7}^{2}+（3+2）^{2}}$=$\sqrt{74}$，
∵AC′⊥AB，BD⊥AB，
∴AC′∥BD，
∴△APC′∽△BPD，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{AC′}{BD}$，
∴$\frac{x}{7-x}=\frac{2}{3}$，
∴x=$\frac{14}{5}$，
故答案为：$\sqrt{74}$，$\frac{14}{5}$；
（II）如图所示，AP的长就是所求出的x．