Question

13．如果两个三角形的三条高对应成比例，那么这两个三角形相似吗？为什么？

Answer 1

分析 设$\frac{AD}{A′D′}$=$\frac{BE}{B′E′}$=$\frac{CF}{C′F′}$=k，△ABC的面积为S，△A′B′C′的面积为S′，则AD=kA′D′，BE=kB′E′，CF=kC′F′，BC=$\frac{2S}{AD}$，AC=$\frac{2S}{BE}$，AB=$\frac{2S}{CF}$，B′C′=$\frac{2S′}{A′D′}$，AC=$\frac{2S′}{B′E′}$，AB=$\frac{2S′}{C′F′}$，只要证明$\frac{BC}{B′C′}$=$\frac{AC}{A′C′}$=$\frac{AB}{A′B′}$，即可解决问题．

解答 解：这两个三角形相似．理由如下；

AD、BE、CF是△ABC的高，A′D′、B′E′、C′F′是△A′B′C′的高，
设$\frac{AD}{A′D′}$=$\frac{BE}{B′E′}$=$\frac{CF}{C′F′}$=k，△ABC的面积为S，△A′B′C′的面积为S′，
则AD=kA′D′，BE=kB′E′，CF=kC′F′，BC=$\frac{2S}{AD}$，AC=$\frac{2S}{BE}$，AB=$\frac{2S}{CF}$，
B′C′=$\frac{2S′}{A′D′}$，AC=$\frac{2S′}{B′E′}$，AB=$\frac{2S′}{C′F′}$，
∴$\frac{BC}{B′C′}$=$\frac{S}{kS′}$，$\frac{AC}{A′C′}$=$\frac{S}{kS′}$，$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{S}{kS′}$，
∴$\frac{BC}{B′C′}$=$\frac{AC}{A′C′}$=$\frac{AB}{A′B′}$，
∴△ABC∽△A′B′C′．

点评 本题考查相似三角形的判定、三角形的面积、三角形的高等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．