Question

17．如图，已知一次函数y=-x+2$\sqrt{2}$的图象与坐标轴分别交于A、B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PM，切点为M，则PM的最小值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连结OM、OP，作OH⊥AB于H，如图，先利用坐标轴上点的坐标特征求出A点和B点坐标，则可判断△OAB为等腰直角三角形，从而得到OH=$\frac{1}{2}$AB=2，再根据切线的性质得OM⊥PM，利用勾股定理得到PM=$\sqrt{O{P}^{2}-1}$，则可判断OP的长最小时，PM的长最小，然后利用垂线段最短得到OP的最小值，再计算PM的最小值．

解答 解：连结OM、OP，作OH⊥AB于H，如图，
当x=0时，y=-x+2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，则A（0，2$\sqrt{2}$），
当y=0时，-x+2$\sqrt{2}$=0，解得x=2$\sqrt{2}$，则B（2$\sqrt{2}$，0），
所以△OAB为等腰直角三角形，则AB=$\sqrt{2}$OA=4，OH=$\frac{1}{2}$AB=2，
因为PM为切线，
所以OM⊥PM，
所以PM=$\sqrt{O{P}^{2}-O{M}^{2}}$=$\sqrt{O{P}^{2}-1}$，
当OP的长最小时，PM的长最小，而OP=OH=2时，OP的长最小，
所以PM的最小值为$\sqrt{{2}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．解决本题的关键是用OP、OM表示PM，利用OP的最小值计算PM的最小值．