Question

12．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连结AC、BC．若∠BAC=2∠BCO，AC=3，则PA的长为（　　）

• A． 3$\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 先证明△OAC为等边三角形得到∠AOC=60°，再根据切线的性质得到∠OAP=90°，然后根据正切的定义计算PA的长．

解答 解：∵OB=OC，
∴∠B=∠BCO，
∴∠AOC=∠B+∠BCO，
∴∠AOC=2∠BCO，
而∠BAC=2∠BCO，
∴∠BAC=∠AOC，
∴CA=CO，
而OA=OC，
∴OA=OC=AC=3，
∴△OAC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
∵PA切⊙O于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP=90°，
∵tan∠AOB=$\frac{PA}{OA}$，
∴PA=3tan60°=3$\sqrt{3}$．
故选A．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决本题的关键是证明△AOC为等边三角形．