Question

6．如图，E为正方形ABCD中CD边上一点，∠DAE=30°，P为AE的中点，过点P作直线分别与AD、BC相交于点M、N．若MN=AE，则∠AMN等于60°或120°．

Answer 1

分析 画出符合的两种情况，过N作NF⊥AD于F，根据HL证出Rt△MFN≌Rt△EDA，即可求出答案．

解答 解：分为两种情况：①如图1，

过N作NF⊥AD于F，
则∠NFA=∠MFN=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠B=∠D=90°，
∴四边形AFNB是矩形，
∴NF=AB=AD，
∵∠NFM=∠D=90°，
在Rt△MFN和Rt△EDA中
$\left\{\begin{array}{l}{MN=A}\\{NF=AD}\end{array}\right.$
∴Rt△MFN≌Rt△EDA（HL），
∴∠AMN=∠AED，
∵∠DAE=30°，∠D=90°，
∴∠AMN=∠AED=180°-30°-90°=60°；
②如图2，

同法可求Rt△MFN≌Rt△EDA，
所以∠FMN=∠AED=60°，
所以∠AMN=180°-60°=120°．
故答案为：60°或120°

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．