Question

17．观察下列各式的计算结果：
1-$\frac{1}{{2}^{2}}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$  1-$\frac{1}{{3}^{2}}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}$
1-$\frac{1}{{4}^{2}}=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$ 1-$\frac{1}{{5}^{2}}=1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}=\frac{4}{5}×\frac{6}{5}$…
（1）用你发现的规律填写下列式子的结果：
1-$\frac{1}{{6}^{2}}$=$\frac{5}{6}$×$\frac{7}{6}$；  1-$\frac{1}{1{0}^{2}}$=$\frac{9}{10}$×$\frac{11}{10}$；
（2）用你发现的规律计算：
（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）×…×（1-$\frac{1}{201{5}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{201{6}^{2}}$）．

Answer 1

分析 （1）根据已知总结规律即可写出1-$\frac{1}{{6}^{2}}$=1-$\frac{1}{36}$=$\frac{35}{36}$=$\frac{5}{6}$×$\frac{7}{6}$，1-$\frac{1}{1{0}^{2}}$=1-$\frac{1}{100}$=$\frac{99}{100}$=$\frac{9}{10}$×$\frac{11}{10}$．
（2）由（1）中规律总结出一般规律，依次将要求的代数式分解，写成分数相乘的形式，依次约分即可得出答案．

解答 解：（1）根据已知得：
1-$\frac{1}{{2}^{2}}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$，
1-$\frac{1}{{3}^{2}}=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}=\frac{2}{3}×\frac{4}{3}$，
1-$\frac{1}{{4}^{2}}=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}=\frac{3}{4}×\frac{5}{4}$，
1-$\frac{1}{{5}^{2}}=1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25}=\frac{4}{5}×\frac{6}{5}$…
∴1-$\frac{1}{{6}^{2}}$=1-$\frac{1}{36}$=$\frac{35}{36}$=$\frac{5}{6}$×$\frac{7}{6}$，
 1-$\frac{1}{1{0}^{2}}$=1-$\frac{1}{100}$=$\frac{99}{100}$=$\frac{9}{10}$×$\frac{11}{10}$．
故答案为：$\frac{5}{6}$，$\frac{7}{6}$，$\frac{9}{10}$，$\frac{11}{10}$．

（2）由（1）可以得出一下规律：
1-$\frac{1}{{n}^{2}}$=$\frac{n-1}{n}$×$\frac{n+1}{n}$，
∴（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{{4}^{2}}$）×…×（1-$\frac{1}{201{5}^{2}}$）×（1-$\frac{1}{201{6}^{2}}$），
=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{4}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{4}$×…×$\frac{2014}{2015}$×$\frac{2016}{2015}$×$\frac{2015}{2016}$×$\frac{2017}{2016}$，
=$\frac{1}{2}$×$\frac{2017}{2016}$，
=$\frac{2017}{4032}$．

点评 题目考查了规律型数字的变化，解决此类问题的关键是通过已知条件，总结出一般规律，题目整体较难，特别是第（2）问，对学生能力要求较高，适合学生培优训练．