定义:如图1.D.E在△ABC的边BC上.若△ADE是等边三角形则称△ABC可内嵌.△ADE叫做△ABC的内嵌三角形．(1)直角三角形不一定可内嵌．(填写“一定 .“一定不或“不一定 )(2)如图2.在△ABC中.∠BAC=120°.△ADE是△ABC的内嵌三角形.试说明AB2=BD•BC是否成立?如果成立.请给出证明,如果� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

20．定义：如图1，D，E在△ABC的边BC上，若△ADE是等边三角形则称△ABC可内嵌，△ADE叫做△ABC的内嵌三角形．
（1）直角三角形不一定可内嵌．（填写“一定”、“一定不”或“不一定”）
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，△ADE是△ABC的内嵌三角形，试说明AB²=BD•BC是否成立？如果成立，请给出证明；如果不一定成立，请举例说明．
（3）在（2）的条件下，如果AB=1，AC=2，求△ABC的内嵌△ADE的边长

分析（1）当直角三角形是等腰直角三角形时可内嵌，所以直角三角形不一定可内嵌．
（2）根据三角形相似的判定方法，判断出△BDA∽△BAC，即可推得AB²=BD•BC．
（3）根据△BDA∽△BAC，△AEC∽△BAC，判断出△BDA∽△AEC，求出DE、CE和x的关系，求出△ABC的内嵌△ADE的边长是多少即可．

解答解：（1）当直角三角形是等腰直角三角形时可内嵌，
∴直角三角形不一定可内嵌．

（2）∵△ADE是△ABC的内嵌三角形，
∴△ADE是正三角形，
∴∠ADE=60°，
在△ADB和△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠BAC=120°}\\{∠B=∠B}\end{array}\right.$
∴△BDA∽△BAC，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BD}{AB}$，
即AB²=BD•BC．

（3）设BD=x，
∵△BDA∽△BAC，△AEC∽△BAC，
∴△BDA∽△AEC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{AE}$，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{x}{DE}$，
即DE=2x，
同理CE=4x，
∴1²=x﹒7x，
∴7x²=1，
解得x=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴DE=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴△ABC的内嵌△ADE的边长是$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
故答案为：不一定．

点评此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

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