Question

11．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD=CE，②AC=CE+CD；聪明的小明做完上题后进行了进一步变式探究．
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想线段BD、CD、DE之间会有怎样的关系，请直接写出，不需论证；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．
①题（2）的结论还成立吗？请说明理由；
②连结BE，若BE=10，BC=6，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）①根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出结论；②由△ABD≌△ACE，以及等边三角形的性质，就可以得出AC=DC+CE；
（2）先判定△ABD≌△ACE（SAS），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根据勾股定理得出CE²+CD²=DE²，即可得到BD²+CD²=DE²；
（3）①运用（2）中的方法得出BD²+CD²=DE²；②根据Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得CE=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，进而得出CD=8-6=2，在Rt△DCE中，求得DE=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{68}$，最后根据△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的长．

解答 解：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠EAC}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
②∵BD=CE，AC=BC，
又∵BC=BD+CD，
∴AC=CE+CD；

（2）BD²+CD²=DE²．
证明：如图2，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°，
∴Rt△DCE中，CE²+CD²=DE²，
∴BD²+CD²=DE²；

（3）①（2）中的结论还成立．
理由：如图3，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°=∠ECD，
∴Rt△DCE中，CE²+CD²=DE²，
∴BD²+CD²=DE²；

②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6，
∴CE=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴BD=CE=8，
∴CD=8-6=2，
∴Rt△DCE中，DE=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}$=$\sqrt{68}$，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=$\frac{DE}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{68}}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{34}$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等．解题时注意：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．