已知△ABC与△DEF都是等腰直角三角形.∠ACB=∠EDF=90°．(1)如图1.若OC是等腰Rt△ABC的底边AB上的高.等腰Rt△DEF的顶点D在边AB上.F在OC上.连接BF.CD.求证:BF=CD．(2)若将图1中的等腰Rt△DEF绕点O旋转到图7所示的位置.(1)中的结论在成立吗?若成立请给出证明.若不成立.请说明理由,(3)若将图2中的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°．
（1）如图1，若OC是等腰Rt△ABC的底边AB上的高，等腰Rt△DEF的顶点D在边AB上，F在OC上，连接BF、CD，求证：BF=CD．
（2）若将图1中的等腰Rt△DEF绕点O旋转到图7所示的位置，（1）中的结论在成立吗？若成立请给出证明，若不成立，请说明理由；
（3）若将图2中的等腰Rt△DEF平移到如图3所示的位置，即使点D与点O重合，然后延长DF、DE分别交AC于G，CB于H，请判断FG与EH是否相等？为什么？

分析（1）由等腰直角三角形的性质得出∠COB=90°，∠B=45°，∠OCB=45°，OC=$\frac{1}{2}$AB=OA=OB，同理：OD=OF，由SAS证明△DOC≌△FOB，即可得出结论；
（2）连接OD，证出∠DOC=∠FOB，由SAS证明△DOC≌△FOB，即可得出结论；
（3）证出∠CDG=∠BDH，由ASA证明△CDG≌△BDH，得出对应边相等DG=DH，即可得出结论．

解答（1）证明：∵OC是等腰Rt△ABC的底边AB上的高，
∴∠COB=90°，∠B=45°，∠OCB=45°，OC=$\frac{1}{2}$AB=OA=OB，
同理：OD=OF，
在△DOC和△FOB中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OF}&{\;}\\{∠COD=∠BOF=90°}&{\;}\\{OC=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DOC≌△FOB（SAS），
∴BF=CD；
（2）解：（1）中的结论在成立；理由如下
连接OD，BF，如图所示：
∵∠DOC=∠DOF+∠FOC=90°+∠FOC，∠FOB=∠COB+∠FOC=90°+∠FOC，
∴∠DOC=∠FOB，
在△DOC和△FOB中，$\left\{\begin{array}{l}{OC=OF}&{\;}\\{∠COD=∠BOF=90°}&{\;}\\{OC=OB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DOC≌△FOB（SAS），
∴BF=CD；
（3）FG=EH，理由如下：
∵∠BDC=∠EDF=90°，
∴∠CDG=∠BDH，
在△CDG和△BDH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GCD=∠B=45°}&{\;}\\{CD=BD}&{\;}\\{∠CDG=∠BDH}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△BDH（ASA），
∴DG=DH，
又∵DF=DE，
∴FG=EH．