Question

15．某工艺厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：

销售单价x（元∕件）	…	30	40	50	60	…
每天销售量y（件）	…	500	400	300	200	…

（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元？
（3）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润不低于8000元？

Answer 1

分析 （1）根据图表中的信息可以在平面直角坐标系中描出相应的点，根据描出的点可以猜测该函数为一次函数，然后根据表格中的数据可以求出函数的解析式；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；
（3）根据题意可以得到利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式即可求得函数的最值，然后根据当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润不低于8000元可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．

解答 解：（1）如图所示，

由图可猜想y与x是一次函数关系，
设这个一次函数为y=kx+b（k≠0）
∵这个一次函数的图象经过（30，500）、（40，400）这两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{500=30k+b}\\{400=40k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-10}\\{b=800}\end{array}\right.$，
∴函数关系式是：y=-10x+800；
（2）由题意可得，
（x-20）（-10x+800）=8000，
解得，x₁=40或x₂=60，
即当销售单价定为40或60元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润为8000元；
（3）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，
依题意得 W=（x-20）（-10x+800）
=-10x ²+1000x-16000
=-10（x-50）²+9000，
∴当x=50时，W有最大值9000，
∴当销售单价定为50元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元，
当-10（x-50）²+9000≥8000时，得40≤x≤60，
∵当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，
∴那么销售单价定为40到45元时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润不低于8000元．

点评 本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式和方程，根据二次函数的顶点式，会求函数的最值．