Question

17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，DF⊥AC于E，且与AB的延长线相交于F，于BC相交于G，求证：AD²=AB•AF．

Answer 1

分析 利用相似三角形的判定方法得出△ADE∽△ACD，△AEF∽△ABC，进而求出AD²=AB•AF．

解答 证明：
∵∠ADC=90°，DF⊥AC于E，
∴△ADE∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AD}$，
∴AD²=AC•AE，
∵∠ABC=∠ADC=90°，DF⊥AC于E，
∴∠AEF=∠ABC=90°，
∴∠BFG+∠BGF=∠EGC+∠ECG=90°，
∵∠BGF=∠EGC，
∴∠BFG=∠ECG，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∴AC•AE=AB•AF，
∴AD²=AB•AF．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出△ADE∽△ACD，△AEF∽△ABC是证题关键．