Question

17．如图，在等腰三角形ABC中，AB=2，∠A=90°，点E为腰AB的中点，点F在底边BC上，且FE⊥CE，则△BEF的面积$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D，构成直角三角形可证出Rt△ABE∽Rt△CED，然后证出其面积；或作FH⊥CE于H，设FH=h，Rt△EHF∽Rt△BAE，然后求出其面积．

解答 解：如图，过B作BD⊥BE与EF的延长线交于D．
因为∠ACE+∠AEC=90°，∠BED+∠AEC=90°，所以∠ACE=∠BED．
于是Rt△ACE∽Rt△BED，
∴$\frac{{S}_{△BDE}}{{S}_{△EAC}}$=（$\frac{BE}{AB}$）²=$\frac{1}{4}$，$\frac{BE}{BD}$=$\frac{AC}{AE}$=2，
∵∠EBF=∠DBF=45°，所以BF是∠DBE的平分线，点F到BE和BD的距离相等，
∵$\frac{{S}_{△BEF}}{{S}_{△BDF}}$=$\frac{BE}{BD}$=2，
∴S_△BEF=$\frac{2}{3}$S_△CDE=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{4}$S_△ACE=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{6}$，
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的性质和三角形的面积公式，解题的关键是作出辅助线，然后构成直角三角形，用相似三角形的性质求面积．