Question

5．如图，点D是线段BC的中点，分别以点B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点A，连接AB，AC，AD，点E为AD上一点，连接BE，CE． 
（1）求证：BE=CE；
（2）以点E为圆心，ED长为半径画弧，分别交BE，CE于点F，G．若BC=4，∠EBD=30°，求图中阴影部分（扇形）的面积．
（3）若用阴影部分扇形EFG围成一个圆锥的侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．

Answer 1

分析 （1）由点D是线段BC的中点得到BD=CD，再由AB=AC=BC可判断△ABC为等边三角形，于是得到AD为BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得BE=CE；
（2）由EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB=30°，则根据三角形内角和定理计算得∠BEC=120°，在Rt△BDE中，BD=$\frac{1}{2}$BC=2，∠EBD=30°，根据含30°的直角三角形三边的关系得到ED=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，然后根据扇形的面积公式求解．
（3）设这个圆锥的底面圆的半径为r，列出方程2πr=$\frac{120•π•\frac{2\sqrt{3}}{3}}{180}$，即可解决问题．

解答 （1）证明：∵点D是线段BC的中点，
∴BD=CD，
∵AB=AC=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD为BC的垂直平分线，
∴BE=CE；

（2）解：∵EB=EC，
∴∠EBC=∠ECB=30°，
∴∠BEC=120°，
在Rt△BDE中，BD=BC=2，∠EBD=30°，
∴ED=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∠FEG=120°，
∴阴影部分（扇形）的面积=$\frac{120•π•（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}{360}$=$\frac{4}{9}$π．

（3）设这个圆锥的底面圆的半径为r，
则有2πr=$\frac{120•π•\frac{2\sqrt{3}}{3}}{180}$，
解得r=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查等边三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、扇形的面积公式、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，记住扇形的面积公式S=$\frac{nπ{r}^{2}}{360}$=$\frac{1}{2}$lr，弧长公式l=$\frac{nπr}{180}$．