Question

13．如图，在△ABC中，动点D从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点C（点D不与点B、C重合），运动时间为t，过点D作DE∥AC，DE∥AB，分别交AB于点E，交AC于点F，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 设BC=a，△ABC的面积为m，根据DE∥AC、DF∥AB知△BDE∽△BCA、△CDF∽△CBA，由相似三角形性质表示出△BDE和△CDF的面积，根据S=S_△ABC-S_△BDE-S_△CDF列出S关于t的函数解析式即可判断．

解答 解：根据题意，BD=t，设BC=a，△ABC的面积为m，则CD=a-t，
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴△BDE∽△BCA，△CDF∽△CBA，
∴$\frac{{S}_{△BDE}}{m}=（\frac{BD}{BC}）^{2}$，即$\frac{{S}_{△BDE}}{m}=\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}$，可得：${S}_{△BDE}=\frac{m}{{a}^{2}}•{t}^{2}$，
$\frac{{S}_{△CDF}}{m}=（\frac{CD}{BC}）^{2}$，即$\frac{{S}_{△CDF}}{m}=\frac{（a-t）^{2}}{{a}^{2}}$，可得：${S}_{△CDF}=\frac{m}{{a}^{2}}•（a-t）^{2}$，
则S=m-$\frac{m}{{a}^{2}}•{t}^{2}$-$\frac{m}{{a}^{2}}•（a-t）^{2}$=-$\frac{2m}{{a}^{2}}•{t}^{2}-\frac{2m}{a}•t$，
∵m，a均为定值，
∴S是关于t的二次函数，且该函数图象开口向下，
故选：C．

点评 本题主要考查动点问题的函数图象，根据相似三角形的性质表示出两小三角形的面积是前提，列出函数关系式是解题的关键．