题目内容
4．在平面直角坐标系内，经过坐标原点O的抛物线y=ax2+bx的顶点为A（2，4）（1）求a，b的值；
（2）设抛物线y=ax2+bx交x轴正半轴于点B，横坐标为m（m＞0）的点P为该抛物线上一动点，△POB的面积为S（S≠0），求S与m之间的函数关系式；（直接写出m的取值范围）
（3）在（2）的条件下，过点A作y轴的垂线，点C为垂足，作点C关于点B的对称点C′，是否存在m值，使∠APC′=90°？若存在，求所有符合条件的m值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）根据顶点坐标公式，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标，B点坐标，根据三角形的面积公式，可得答案；
（2）根据互相垂直的两直线的比例系数互为负倒数，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
解答 解：（1）由顶点坐标，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}=2}\\{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$；
（2）当x=m时，y=-m2+4m，即P点坐标为（m，-m2+4m），
当y=0时，-x2+4x=0，解得x=0，x=4即B点坐标为（4，0）；
S=$\frac{1}{2}$OB•yP=$\frac{1}{2}$×4×（-m2+4m）=-2m2+8m；
（3）点C关于点B的对称点C′，存在m值，使∠APC′=90°，
设P点坐标为（m，-m2+4m），
如图：
AC⊥y轴于C点，得C点坐标为（0，4）．
由点C关于点B的对称点C′，得C′点坐标为（8，-4）．
由∠APC′=90°，得
kAP•kC′P=-1，
即$\frac{-{m}^{2}+4m-4}{m-2}$•$\frac{-{m}^{2}+4m+4}{m-8}$=-1，
化简，得m3-6m2+5m=0．
解得m=0（不符合题意，舍），m=5，m=1
当m=5时，y=-m2+4m=-5，即P（5，-5），
当m=1时，y=-m2+4m=3，即P（1，3）．
综上所述：P点坐标为（1，3）或（5，-5）．
点评 本题考查了二次函数综合题，利用顶点坐标求函数解析式；利用自变量与函数值的对应关系得出P，B点坐标是解题关键；利用互相垂直的两直线的比例系数互为负倒数可得关于m的方程是解题关键．
| A． | -2ax＞-2b | B． | 2ax＞2b | C． | ax+2＞b+2 | D． | ax-2＞b-2 |
如图，AB∥CD，CP交AB于O，AO=PO，若∠C=50°，则∠A的度数为（ ）| A． | 25° | B． | 35° | C． | 15° | D． | 50° |
如图，在△ABC中，动点D从点B出发，沿BC方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点C（点D不与点B、C重合），运动时间为t，过点D作DE∥AC，DE∥AB，分别交AB于点E，交AC于点F，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图象大致为（ ）
