Question

6．如图，已知A、B两点的坐标分别为（-2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，-1），半径为1，E是⊙C上的一动点，则△ABE面积的最大值为（　　）

• A． 2+$\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． 3+$\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． 3+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 方法一、先判断出点E的位置，点E在过点C垂直于AC的直线和圆C在点C下方的交点，然后求出直线AB解析式，进而得出CD解析式，即可得出点D坐标，再求出CD，进而得出DE，再用三角形的面积公式即可得出结论．
方法二，先求出OA，OB，根据勾股定理得出AB，利用面积相等求出OF，再利用三角形的中位线求出CD，进而得出DE，再用三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：方法一、如图，过点C作CD⊥AB，延长DC交⊙C于E，此时△ABE面积的最大值（AB是定值，只要圆上一点E到直线AB的距离最大），
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（-2，0），B（0，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+1①，
∵CD⊥AB，C（0，-1），
∴直线CD的解析式为y=-2x-1②，
联立①②得，D（-$\frac{4}{5}$，$\frac{3}{5}$），
∵C（0，-1），
∴CD=$\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+（\frac{3}{5}+1）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵⊙C的半径为1，
∴DE=CD+CE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$+1，
∵A（-2，0），B（0，1），
∴AB=$\sqrt{5}$，
∴S_{△ABE面积的最大值}=$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}$（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$+1）×$\sqrt{5}$=2+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故选A．
方法二、如图1，过点C作CD⊥AB，延长DC交⊙C于E，此时△ABE面积的最大值（AB是定值，只要圆上一点E到直线AB的距离最大，而过圆心时，和圆相交两个点，一个是最大的，一个是最小的），
过点O作OF⊥AB于F，
∵A、B两点的坐标分别为（-2，0）、（0，1）
∴OA=2，OB=1，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得，AB=$\sqrt{5}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$AB•OF，
∴OF=$\frac{OA•OB}{AB}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵点C（0，-1），
∴OC=1，
∴OB=OC，
∴CD=2OF=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵⊙C的半径为1，
∴DE=CD+CE=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$+1，
∵A（-2，0），B（0，1），
∴AB=$\sqrt{5}$，
∴S_{△ABE面积的最大值}=$\frac{1}{2}$AB•DE=$\frac{1}{2}$（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$+1）×$\sqrt{5}$=2+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故选A．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，待定系数法，求两条直线的交点的方法，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出点E的位置，是一道中等难度的试题．