Question

15．如图，己知射线OM与射线ON互相垂直，A是直径PQ为2cm的半圆铁片上一点，且弧AQ的度数为60°，（即弧AQ所对的圆心角为60°）动点P从点O沿射线OM开始滑动，同时动点Q在ON上滑动，当点Q滑至点O停止时，点A所经过的路程是（　　）

• A． 3
• B． 3-$\sqrt{3}$
• C． 3+$\sqrt{3}$
• D． 6-2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意，PQ滑动过程中，PQ=2，∠QOA=30°，所以点A在射线OA上运动，起始位置时OA=$\sqrt{3}$，当P′Q′的中点在直线OA上时，OA′最长，此时OA′=2，TC AA′=2-$\sqrt{3}$，当点Q″与O重合时，OA″最小，此时OA″=1，所以点A的运动路径为A→A′→A→A″，由此求出AA′+A′A″即可解决问题．

解答 解：如图，

由题意，PQ滑动过程中，PQ=2，∠QOA=30°，所以点A在射线OA上运动，
起始位置时OA=$\sqrt{3}$，当P′Q′的中点在直线OA上时，OA′最长，此时OA′=2，
∴AA′=2-$\sqrt{3}$，
当点Q″与O重合时，OA″最小，此时OA″=1，
点A的运动路径为A→A′→A→A″，
∴点A所经过的路程=2-$\sqrt{3}$+（2-1）=3-$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 本题考查轨迹，圆心角、弦、弧之间的关系等知识，解题的关键是发现∠AOQ=30°，求出OA的最大值以及最小值，题目比较难，所以中考选择题中的压轴题．