Question

1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中$\widehat{AB}$上一点，延长DA至点E，使CE=CD．
（1）求证：AE=BD；
（2）若AC⊥BC，画出图形，探究线段AD、BD、CD之间的数量关系并证明．

Answer 1

分析 （1）根据同弧上的圆周角相等，得∠CBA=∠CDE，则∠ACB=∠ECD，可证明△ACE≌△BCD，则AE=BD；
（2）利用（1）中的全等，可得，AE=BD，∠ECA=∠DCB，那么就有∠ECD=∠ECA+∠ACD=90°，根据勾股定理得DE=$\sqrt{2}$CD，而DE=AD+AE=AD+BG，所以有AD+BD=$\sqrt{2}$CD．

解答 （1）证明：在△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA．
在△ECD中，
∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE，
∵∠CBA=∠CDE，（同弧上的圆周角相等），
∴∠E=∠CDE=∠CAB=∠CBA，
∵∠E+∠ECD+∠EDC=180°，∠CAB+∠ACB+∠ABC=180°，
∴∠ACB=∠ECD，
∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD．
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠ACE=∠BCD}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD；
（2）解：AD+BD=$\sqrt{2}$CD，
理由：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠DCE=90°；
又∵CD=CE，
∴△DCE为等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
又∵DE=AD+AE且AE=BD，
∴AD+BD=$\sqrt{2}$CD．

点评 本题主要考查了圆周角定理和全等三角形的判定和性质，利用圆周角定理找出三角形全等的条件是解决此题的关键．