Question

16．【提出问题】已知如图1，P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，你能找到∠P、∠A的关系吗？
【分析问题】在解决这个问题时，某小组同学是这样做的：
先赋予∠A几个特殊值：
当∠A=80°时，计算出∠P=130°；
当∠A=40°时，计算出∠P=110°；
当∠A=100°时，计算出∠P=140°；
…由以上特例猜想∠P与∠A的关系为：∠P=90°+$\frac{1}{2}$∠A．再证明这一结论：
证明：∵点P是∠ABC、∠ACB的角平分线的交点．
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC；∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
又∵∠A+（∠ABC+∠ACB）=180°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A
【解决问题】请运用以上解决问题的“思想方法”解决下面的几个问题：
（1）如图2，若点P时∠ABC、∠ACB的三等分线的交点，即∠PBC=$\frac{1}{3}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{3}$∠ACB，猜测∠P与∠A的关系为∠P=$\frac{1}{3}$∠A+$\frac{2}{3}$×180°，证明你的结论．
（2）若点P时∠ABC、∠ACB的四等分线的交点，即∠PBC=$\frac{1}{4}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{4}$∠ACB，则∠P与∠A的关系为∠P=$\frac{1}{4}$∠A+$\frac{3}{4}$×180°．（直接写出答案，不需要证明）
（3）若点P时∠ABC、∠ACB的n等分线的交点，即∠PBC=$\frac{1}{n}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{n}$∠ACB，则∠P与∠A的关系为$\frac{n-1}{n}$•180°+$\frac{1}{n}$∠A．（直接写出答案，不需要证明）

Answer 1

分析 （1）假设∠A=60°，先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据三等分线求出∠PBC+∠PCB，根据三角形的内角和定理得出∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），代入求出即可；
（2）假设∠A=60°，同（1）可得出结论；
（3）先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据n等分线求出∠PBC+∠PCB，根据三角形的内角和定理得出∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB），代入求出即可．

解答 解：（1）假设∠A=60°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的三等分线，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{3}$（180°-60°）=40°，
∴∠P=180°-（∠OBC+∠OCB）=140°，即∠P=$\frac{1}{3}$∠A+$\frac{2}{3}$×180°．
故答案为：∠P=$\frac{1}{3}$∠A+$\frac{2}{3}$×180°；

（2）假设∠A=60°，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的四等分线，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{4}$（180°-60°）=30°，
∴∠P=180°-（∠OBC+∠OCB）=150°，即∠P=$\frac{1}{4}$∠A+$\frac{3}{4}$×180°．
故答案为：∠P=$\frac{1}{4}$∠A+$\frac{3}{4}$×180°；

（3）∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的n等分线，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{n}$（180°-∠A），
∴∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-$\frac{1}{n}$（180°-∠A）
=$\frac{n-1}{n}$•180°+$\frac{1}{n}$∠A．
故答案为：$\frac{n-1}{n}$•180°+$\frac{1}{n}$∠A．

点评 本题考查的是三角形的内角和定理及角平分线定义，解此题的关键是能用∠A表示出∠OBC+∠OCB的度数，题目比较好，求解过程类似．