Question

5．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D，E．且$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=10，BC=12，求cos∠ABD的值．

Answer 1

分析 （1）先连结AE，根据ASA判定△AEB≌△AEC，再根据全等三角形的性质得出AB=AC；
（2）先根据等腰三角形的性质以及勾股定理，求得AE和BE的长，再根据面积法求得BD的长，最后计算cos∠ABD的值．

解答 （1）方法一：连结AE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵$\widehat{DE}=\widehat{BE}$，
∴∠BAE=∠CAE，
又AE=AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB=AC；
方法二：∵AB是直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∵$\widehat{DE}=\widehat{BE}$，
∴DE=BE，
∴∠CBD=∠BDE，
∴∠C=∠CDE，
∵ABED是圆内接四边形，
∴∠CDE=∠CBA，
∴∠C=∠CBA，
∴AB=AC；

（2）由（1）知△ABC为等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×12=6，
∵在Rt△ABE中，AB=10，BE=6，
∴AE=$\sqrt{{{10}^2}-{6^2}}$=8，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴$\frac{1}{2}AE•BC=\frac{1}{2}BD•AC$，
∴$BD=\frac{8×12}{10}=\frac{48}{5}$，
∴$cos∠ABD=\frac{BD}{AB}=\frac{{\frac{48}{5}}}{10}=\frac{24}{25}$．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．解题时注意面积法的运用．