Question

7．已知，如图1在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=2$\sqrt{2}$，D、E分别是AB、AC的中点，若等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AB₁C₁，设旋转角α（0＜α＜360°），记直线DB₁与EC₁的交点为P．
（1）如图2，当α=135°时，直线DB₁与EC₁的位置关系是DB₁⊥EC₁
（2）如图3，当α=90°时，求点P到直线AD的距离；
（3）当△ABC绕点A逆时针旋转一周时，点P到直线AD的距离是否存在最大值？若存在，求出P点到直线AD的最大距离；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用旋转的性质可知：∠B₁AD=C₁AE，根据题意可证明△B₁AD≌△C₁AE，所以∠AB₁D=∠AC₁E，从而可知∠B₁PC₁=∠B₁AC₁=90°，所以DB₁⊥EC₁；
（2）过点P作PF⊥AD于点F，可知△B₁AD≌△C₁AE，从而∠B₁PC₁=∠B₁AC₁=90°，所以易证△B₁PE∽△C₁AE，利用相似三角形的性质即可求出PE的长度，再证明△C₁AE∽△C₁FP，利用相似三角形的性质即可求出PF的长度；
（3）在旋转的过程中，∠EPD始终保持为90°，点P在以ED为直径的圆上，又因为∠EAD=90°，点P在△EAD的外接圆上，即当PF过ED的中点时，点P到直线AD的距离最大．

解答 解：（1）当α=135°时，
由旋转的性质可知：∠B₁AD=C₁AE=135°，
∵△ADE与△ABC是等腰直角三角形，
∴AB₁=AC₁，AD=AE，
在△B₁AD与△C₁AE中，
$\left\{\begin{array}{l}{A{B}_{1}=A{C}_{1}}\\{∠{B}_{1}AD=∠{C}_{1}AE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△B₁AD≌△C₁AE（SAS），
∴∠AB₁D=∠AC₁E，
∴∠B₁PC₁=∠B₁AC₁=90°，
∴DB₁⊥EC₁，
故答案为：DB₁⊥EC₁；

（2）过点P作PF⊥AD于点F，
由（1）可知：∴△B₁AD≌△C₁AE（SAS），
∴∠AB₁D=∠AC₁E，
∴∠B₁PC₁=∠B₁AC₁=90°，
∴△B₁PE∽△C₁AE，
∴$\frac{{C}_{1}E}{{B}_{1}E}=\frac{AE}{PE}$，
∵点E是AC的中点，
∴AE=B₁E=$\frac{1}{2}$AC₁=$\sqrt{2}$，
∴由勾股定理可求得：C₁E=$\sqrt{10}$，
∴$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{PE}$，
∴PE=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴C₁P=C₁E+PE=$\frac{6}{5}\sqrt{10}$，
∵PF∥AE，
∴△C₁AE∽△C₁FP，
∴$\frac{{C}_{1}E}{{C}_{1}P}=\frac{AE}{PF}$，
∴$\frac{\sqrt{10}}{\frac{6}{5}\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{PF}$，
∴PF=$\frac{6}{5}\sqrt{2}$；

（3）当△ABC绕点A逆时针旋转一周时
由旋转的性质可知：∠B₁AD=C₁AE，
∴△B₁AD≌△C₁AE，
∴∠AB₁D=∠AC₁E，
∴∠B₁PC₁=∠B₁AC₁=90°，
∴∠EPD=90°，
∴点P在以ED为直径的圆上，
∵∠EAD=90°，
∴点P在△EAD的外接圆上，如图4，
∴当PF过ED的中点时，点P到直线AD的距离最大，
设ED的中点为O，
∵∠EDA=45°，
∴OF=FD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵AD=AE=$\sqrt{2}$，
∴由勾股定理可求得：ED=2，
∴OP=$\frac{1}{2}ED$=1，
∴PF=OP+OF=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴P点到直线AD的最大距离为1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查旋转的综合问题，涉及旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，考查学生综合运用知识的能力．