Question

2．如图所示，AB是⊙O的直径，点C是$\widehat{BD}$的中点，∠COB=60°，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OD，可证明△AOD为等边三角形，可得到∠EAO=∠COB，可证明OC∥AE，可证得结论；
（2）利用△OCD和△AOD都是等边三角形可证得结论．

解答 （1）证明：
连接OD，如图，
∵C是$\widehat{BD}$的中点，
∴∠BOC=∠COD=60°，
∴∠AOD=60°，且OA=OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠EAB=∠COB，
∴OC∥AE，
∴∠OCE+∠AEC=180°，
∵CE⊥AE，
∴∠OCE=180°-90°=90°，即OC⊥EC，
∵OC为圆的半径，
∴CE为圆的切线；
（2）解：
四边形AOCD是菱形，理由如下：
由（1）可知△AOD和△COD均为等边三角形，
∴AD=AO=OC=CD，
∴四边形AOCD为菱形．

点评 本题主要考查切线和菱形的判定，掌握切线的判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．