Question

18．如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F．
（1）求证：AE=CF；
（2）连结ED、FB，判断四边形BEDF是否是平行四边形，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质先得出∠BEC=∠DFA，然后再证∠ACB=∠CAD，再证出△ABE≌△CDF，从而得出AE=CF；
（2）连接BD交AC于O，则可知OB=OD，OA=OC，又AE=CF，所以OE=OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠ABC=∠CDA，AB∥CD∴∠BAC=∠DCA，
∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC
∴∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF （ASA），
∴AE=CF；

（2）是平行四边形；
连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO
∵AE=CF，
∴AO-AE=CO-CF．
即EO=FO．
∴四边形BEDF为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键寻找两条线段所在的三角形，然后证明两三角形全等．