Question

2．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．
（1）说明：∠EPD=∠EDO；
（2）若PC=6，$\frac{PA}{AD}$=$\frac{3}{4}$，求OA的长．

Answer 1

分析 （1）由于PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，根据切线长定理得∠1=∠2，根据切线的性质得OA⊥PA，则∠1+∠AOP=90°，而∠3+∠DOE=90°，∠AOP=∠DOE，利用等角的余角相等得∠1=∠3，所以∠2=∠3；
（2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，根据切线长定理得PA=PC=6，根据切线的性质得OC⊥PD，再利用$\frac{PA}{AD}$=$\frac{3}{4}$得AD=8，则利用勾股定理可计算出PD=10，所以CD=PD-PC=4，然后在Rt△OCD中利用勾股定理得到r²+4²=（8-r）²，再解方程即可．

解答 （1）证明：∵PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，
∴∠1=∠2，OA⊥PA，
∴∠PAO=90°，
∴∠1+∠AOP=90°，
∵DE⊥PO，
∴∠3+∠DOE=90°，
而∠AOP=∠DOE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
即∠EPD=∠EDO；
（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，
∵PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，
∴PA=PC=6，OC⊥PD，
∵$\frac{PA}{AD}$=$\frac{3}{4}$，
∴AD=8，
在Rt△PAD中，PD=$\sqrt{P{A}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴CD=PD-PC=10-6=4，
在Rt△OCD中，∵OC=r，OD=AD-OA=8-r，CD=4，
∴r²+4²=（8-r）²，解得r=3，
即OA的长为3．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了切线长定理和勾股定理．