Question

15．关于x的方程（a-c）（x+1）（x-1）=2（bx+c）有两个相等实根，其中a，b，c为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若a²+2ac-4b²+c²=0．
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求sinB和tanA的值．

Answer 1

分析 （1）首先整理方程，利用根的判别式得出b²+a²=c²，即可得出答案；
（2）利用已知结合（1）中所求得出a，b与c的关系，进而得出sinB和tanA的值．

解答 解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：∵关于x的方程（a-c）（x+1）（x-1）=2（bx+c）有两个相等实根，
∴（a-c）（x²-1）-2bx-2c=0，
（a-c）x²-2bx-2c-（a-c）=0
（a-c）x²-2bx-（a+c）=0，
故△=（2b）²+4（a+c）（a-c）=0，
即b²+a²=c²，
故△ABC是直角三角形；

（2）如图，∵a，b，c为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a²+2ac-4b²+c²=0，
∴（a+c）²=4b²，
即（a+c）²=4（c²-a²）
整理得：3c=5a，
则a=$\frac{3}{5}$c，
故b=$\frac{4}{5}$c，
则sinB=$\frac{b}{c}$=$\frac{\frac{4}{5}c}{c}$=$\frac{4}{5}$，tanA=$\frac{a}{b}$=$\frac{\frac{3}{5}c}{\frac{4}{5}c}$=$\frac{3}{4}$．

点评 此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，正确得出a，b与c的关系是解题关键．