Question

8．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则AP+BP的最小值为（　　）

• A． 4
• B． $\sqrt{3}$+2
• C． $\sqrt{7}$+1
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 易知点B关于GH的对称点为点E，连接AE交GH于点P，那么有PB=PE，AP+BP=AE最小．又易知△AEF为等腰三角形，∠AFE=120°，则作FM⊥AE于点M，易求得AM=EM=$\sqrt{3}$，从而AE=2$\sqrt{3}$．

解答 解：利用正多边形的性质可得点B关于GH的对称点为点E，连接AE交GH于点P，那么有PB=PE，AP+BP=AE最小．
又易知△AEF为等腰三角形，∠AFE=120°，
则作FM⊥AE于点M，
∵∠AFE=120°，AF=EF，
∴∠FAE=∠FEA=30°，AM=EM，
在RT△AFM中，AF=2，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AF=$\sqrt{3}$，
∴AM=EM=$\sqrt{3}$，从而AE=2$\sqrt{3}$，
故AP+BP的最小值为2$\sqrt{3}$．
故选D．

点评 此题主要考查了正多边形的以性质及轴对称最短路线问题，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．