Question

6．如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，sin∠ABC=$\frac{12}{13}$．
填空：（1）如图1，AH⊥BC于点H，则AH=12，AC=15，△ABC的面积S_△ABC=84；
探究：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE+CF=y（当点D与点A重合时，我们认为S_△ABC=0）
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，这样的x的取值范围是x=$\frac{56}{5}$或13＜x≤14．
拓展：（4）请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），则这条直线是AC，此时最小值是$\frac{56}{5}$．

Answer 1

分析 （1）根据锐角三角函数确定出CH，再利用面积公式计算即可；
（2）根据三角形面积公式表示出AE，CF，确定出函数解析式，用特数值确定出范围；
（3）由于AB＜BC，把AB绕点B旋转，使点A落在线段AC时，停止，记作点G，分点D落在线段AG（除垂直）和CG即可；
（4）利用同一个△ABC的面积选底不同，高就不同，点A，B，C到某直线的距离之和最小，高最小即可．

解答 解：（1）在直角△ABH中，
∵∠AHB=90°，AB=13，cos∠ABC=$\frac{5}{13}$，
∴BH=AB•cos∠ABC=5，AH=12，
∴CH=BC-BH=9．
在△ACH中，∵∠AHC=90°，AH=12，CH=9，
∴AC=15，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH=$\frac{1}{2}$×14×12=84．
故答案为12，15，84；
（2）由三角形的面积公式，
得S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AE=$\frac{1}{2}$x×AE，
S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•CF=$\frac{1}{2}$x×CF；
∴AE=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$，CF=$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$，
∴y=AE+CF=$\frac{2{S}_{△ABD}}{x}$+$\frac{2{S}_{△CBD}}{x}$=$\frac{168}{x}$，
∵AC边上的高为$\frac{2{S}_{△ABC}}{15}$=$\frac{56}{5}$，
∴x的取值范围是$\frac{56}{5}$≤x≤14，
（3）如图

∵△ABC中，AB=13，BC=14，而BC＞AC，
把AB绕点B旋转，使点A落在线段AC时，停止，记作点G，
当点D在AG这段线段（除垂直）（包括端点）时，始终存在两个点D，
当BD⊥AC，在线段AC上存在唯一的点D，此时x=$\frac{56}{5}$，
当13＜x≤14时，此时在线段AC上存在唯一的点D，
因此x的范围为x=$\frac{56}{5}$或13≤x≤14，
故答案为x=$\frac{56}{5}$或13＜x≤14，
（4）∵AC＞BC＞AB，
∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC的高，AC的长为$\frac{56}{5}$．

点评 本题是三角形综合题，主要考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，反比例函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度．