Question

11．已知抛物线y=-x²+bx+c经过点M（2，3），点N（-3，-12）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设抛物线与x轴的负半轴交于A点，与y轴的交点为C点，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使AC=AQ？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将抛物线平移，使抛物线的顶点为E（h，k）（h＞0，k＞0），设平移后的抛物线与x轴的交点为A₁、B（A₁在B点的左侧），与y轴的正半轴交点为D，在四边形A₁BED中满足${S_{△BED}}=2{S_{△{A_1}OD}}$，且顶点E恰好落在直线y=-2x+2上，求此抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）将M、N点的坐标代入到抛物线解析式中，得出关于b、c的二元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）假设存在，将（1）中得出的抛物线的解析式改写成顶点式，设出点Q的坐标为（1，m），分别令x=0、y=0求出A、C点的坐标，根据两点间的距离公式结合AC=AQ即可得出关于m的无理方程，解方程即可得出结论；
（3）根据（1）的结论结合平移的性质写出平移后的抛物线的解析式，分别令x=0、y=0得出A₁、B、D点的坐标，结合顶点在直线y=-2x+2上以及${S_{△BED}}=2{S_{△{A_1}OD}}$，得出关于h、k的方程，解方程即可得出结论．

解答 解：（1）将点M（2，3），点N（-3，-12）代入到抛物线y=-x²+bx+c中，
得$\left\{\begin{array}{l}{3=-4+2b+c}\\{-12=-9-3b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴这个二次函数的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）假设存在．
∵二次函数的解析式为y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴设Q点坐标为（1，m）．
令y=0，则有-x²+2x+3=0，
解得：x=-1，或x=3，
∴A点的坐标为（-1，0）．
令x=0，则y=3，
即点C的坐标为（0，3）．
∵AC=$\sqrt{[0-（-1）]^{2}+（3-0）^{2}}$=$\sqrt{10}$，AQ=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+{m}^{2}}$，
∴$\sqrt{10}$=$\sqrt{[1-（-1）]^{2}+{m}^{2}}$，解得：m=±$\sqrt{6}$．
故在抛物线的对称轴上存在点Q，使AC=AQ，Q点坐标为（1，-$\sqrt{6}$）或（1，6）．
（3）过点E作EF⊥y轴于点F，如图所示．

∵平移后抛物线的顶点坐标为E（h，k），
∴平移后的抛物线解析式为y=-（x-h）²+k，点F的坐标为（0，k）．
令y=0，则有-（x-h）²+k=0，
解得：x=h-$\sqrt{k}$，或x=h+$\sqrt{k}$，
即点A₁的坐标为（h-$\sqrt{k}$，0），点B坐标为（h+$\sqrt{k}$，0）．
令x=0，则y=-h²+k，
即点D坐标为（0，k-h²）．
${S}_{△{A}_{1}OD}$=$\frac{1}{2}$OA₁•OD=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{k}$-h）（k-h²），${S}_{△BDF}=\frac{1}{2}（EF+OB）•OF$-$\frac{1}{2}$EF•FD-$\frac{1}{2}$OB•OD=$\frac{1}{2}$hk+$\frac{1}{2}$${h}^{2}\sqrt{k}$．
由点E在直线y=-2x+2上，且${S_{△BED}}=2{S_{△{A_1}OD}}$，
可知：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2h+2}\\{\frac{1}{2}hk+\frac{1}{2}{h}^{2}\sqrt{k}=（\sqrt{k}-h）（k-{h}^{2}）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{h=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=10-4\sqrt{6}}\\{h=2\sqrt{6}-4}\end{array}\right.$．
∵k-h²＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=10-4\sqrt{6}}\\{h=2\sqrt{6}-4}\end{array}\right.$（舍去）．
故平移后抛物线的解析式为y=-$（x-\frac{1}{2}）^{2}+1$．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、两点间的距离公式、解无理方程、三角形的面积公式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）解无理方程；（3）通过分割多边形求三角形的面积．本题属于中档题，（1）（2）难度不大；（3）难度不小，通过分割多边形找出三角形的面积，结合面积间的关系可得出h、k的方程，通过消元得出关于k的一元四次方程，通过分解因式得出k的值，最后再通过点D在y轴正半轴确定k的值，稍显繁琐．