Question

15．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（3，0），连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，求直线BC的解析式．

Answer 1

分析 在Rt△OAB中，OA=4，OB=3，用勾股定理计算出AB=5，再根据折叠的性质得BA′=BA=5，CA′=CA，则OA′=BA′-OB=2，设OC=t，则CA=CA′=4-t，在Rt△OA′C中，根据勾股定理得到t²+2²=（4-t）²，解得t=$\frac{3}{2}$，则C点坐标为（0，$\frac{3}{2}$），然后利用待定系数法确定直线BC的解析式．

解答 解：∵A（0，4），B（3，0），
∴OA=4，OB=3，
在Rt△OAB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5．
∵△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，
∴BA′=BA=5，CA′=CA，
∴OA′=BA′-OB=5-3=2．
设OC=t，则CA=CA′=4-t，
在Rt△OA′C中，∵OC²+OA′²=CA′²，
∴t²+2²=（4-t）²，解得t=$\frac{3}{2}$，
∴C点坐标为（0，$\frac{3}{2}$），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（3，0）、C（0，$\frac{3}{2}$）代入
得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和待定系数法求一次函数解析式．