Question

2．如图，已知△ABC是等腰三角形，且∠C=60°，AB=10，点P是AC边上一动点，由点A向点C运动（点P与点A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与 点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动（点Q与点B不重合），过点P作PE⊥AB于点E，连结PQ交AB于点D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长．
（2）在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先得出△ABC是边长为10的等边三角形，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=10-x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=$\frac{1}{2}$QC，即10-x=$\frac{1}{2}$（10+x），求出x的值即可；
（2）作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，由等边△ABC的边长为10可得出DE=5，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠C=60°，
∴△ABC是边长为10的等边三角形，
∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
设AP=x，则PC=10-x，QB=x，
∴QC=QB+BC=10+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=$\frac{1}{2}$QC，即10-x=$\frac{1}{2}$（10+x），
解得：x=$\frac{10}{3}$，
∴AP=$\frac{10}{3}$；

（2）当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
在△APE和△BQF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠BFQ}\\{∠A=∠FBQ}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=$\frac{1}{2}$EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
又∵等边△ABC的边长为10，
∴DE=5，
∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．

点评 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．