Question

13．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（-3，0）、B（1，0）两点，D是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F和点D关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法即可求得；
（2）分两种情况，根据平行四边形的性质分别讨论即可求得．

解答 解：（1）据题意得$\left\{\begin{array}{l}9a-3b+3=0\\ a+b+3=0.\end{array}\right.解得\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=-2.\end{array}\right.$
∴解析式为y=-x²-2x+3；
（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴顶点D（-1，4），
∴F（-1，-4），
若以点O、F、P、Q为顶点的平行四边形存在，则点Q（x，y）满足|y|=EF=4，
①当y=-4时，-x²-2x+3=-4，
解得，x=-1±2$\sqrt{2}$，
∴Q₁（-1-2$\sqrt{2}$，-4），Q₂（-1+2$\sqrt{2}$，-4），
∴P₁（-2$\sqrt{2}$，0），P₂（2$\sqrt{2}$，0），
②当y=4时，-x²-2x+3=4，
解得，x=-1
∴Q₃（-1，4）
∴P₃（-2，0），
综上所述，符合条件的点有三个即：P₁（-2$\sqrt{2}$，0），P₂（2$\sqrt{2}$，0），P₃（-2，0）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式以及平行四边形的性质，根据题意求得Q的坐标是解题的关键．