Question

14．在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA．
（1）如图（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图（2）若E是AB延长线上的一点，BE=AD，连接CE，则在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图（2）中面积等于△BCE面积的所有三角形（△BCE除外）．

Answer 1

分析 （1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA，再由等腰三角形的三线合一性质得出OB=OD，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出△ABC的面积=△ADC的面积=△ABD的面积=△BCD的面积，再由已知条件得出BE=AB，得出△ABC的面积=△ADC的面积=△ABD的面积=△BCD的面积=△BCE的面积，即可得出结果．

解答 （1）证明：在△ABC和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{BC=DC}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA=∠DCA，
∵BC=DC，
∴OB=OD，
又∵OC=OA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：图（2）中面积等于△BCE面积的三角形为△ABC、△ADC、△ABD、△BCD．理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△ABC的面积=△ADC的面积=△ABD的面积=△BCD的面积，
∵BE=AD，AB=AD，
∴BE=AB，
∴△BCE的面积=△ABC的面积，
∴△ABC的面积=△ADC的面积=△ABD的面积=△BCD的面积=△BCE的面积，
∴图（2）中面积等于△BCE面积的三角形为△ABC、△ADC、△ABD、△BCD．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．