Question

8．如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）若M为EF的中点，OM=5，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线性质求出DG∥BC，EF∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，求出DG∥EF，DG=EF，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出∠BOC=90°，根据直角三角形的斜边上中线性质得出EF=2OM，即可求出答案．

解答 （1）证明：∵边AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G，
∴DG∥BC，EF∥BC，DG=$\frac{1}{2}$BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DG∥EF，DG=EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；

（2）解：∵∠OBC和∠OCB互余，
∴∠OBC+∠OCB=90•，
∴∠BOC=90°，
∵M为EF的中点，
∴OM=$\frac{1}{2}$EF，
∵OM=5，DG=EF，
∴DG=EF=2OM=10．

点评 本题考查了三角形的中位线性质，平行四边形的性质，互余，直角三角形斜边上中线性质等知识点，能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键．