如图.已知矩形ABCD中.AB=$2\sqrt{3}$.tan∠DBC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.将该矩形沿对角线BD翻折.使△DBG与△DBC在同一平面内.点C的对应点为G.BG交AD与点E.以BE为边作等边三角形PEF.点E.F位于AB两侧.将△PAF沿射线BD方向以每秒1个单位的速度平移.当点P到达点D时停止平移.设平移的时间为t秒．(1)求BD� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如图，已知矩形ABCD中，AB=$2\sqrt{3}$，tan∠DBC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，将该矩形沿对角线BD翻折，使△DBG与△DBC在同一平面内，点C的对应点为G，BG交AD与点E，以BE为边作等边三角形PEF（P点与B重合），点E、F位于AB两侧，将△PAF沿射线BD方向以每秒1个单位的速度平移，当点P到达点D时停止平移，设平移的时间为t秒．
（1）求BD的长．
（2）在平移过程中，设△PAF与△BDG的重叠部分面积为S，直接写出S与t的函数关系式及相应的t的取值范围．
（3）当平移结束后（即点P到达点D时），将△PAF绕点P旋转，点A的对应点A′，F的对应点F′，直线PF′与直线BG的交点为M，直线F′A′与直线BG交点为N，在旋转过程中，是否存在△F′MN是直角三角形？若存在请求出F′N的长度；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据矩形的性质得到CD=AB=2$\sqrt{3}$，根据三角函数的定义得到∠DBC=30°，根据直角三角形的性质得到；
（2）根据△BAF沿射线BD方向的平移分情况进行求解，同时根据三角形的面积公式进行分析解答；
（3）分类讨论，分别以M和N为直角顶点计算即可．

解答解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=2$\sqrt{3}$，
∵tan∠DBC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠DBC=30°，
∴BD=2CD=4$\sqrt{3}$；

（2）①当0＜t≤$\sqrt{3}$时，△BAF沿射线BD方向的平移图如图1，

∴HQ=HP=BPtan30°=$\frac{2\sqrt{3}t}{3}$，
∴S=S_△HQP=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$•HQ²×3=$\frac{\sqrt{3}}{3}$t²；
②当$\sqrt{3}$＜t≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$时，△BAF沿射线BD方向的平移图如图2，

∴S_△BAP=$\frac{1}{2}$•BP²×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$BP²，
S_△QPD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$PD²，
S_△BGD=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
∴S=S_△BGD-S_△BHP-S_△QPD=-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$t²+12t-6$\sqrt{3}$；
③当$\frac{3\sqrt{3}}{2}$＜t≤2$\sqrt{3}$时，△BAF沿射线BD方向的平移图如图3，

∴S_△HPQ=$\frac{1}{2}$PD²×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$PD²，
∴S=S_△HPQ-S_△QPD=$\sqrt{3}$t²-12t+12$\sqrt{3}$；
（3）存在，
①如图4，当以N为直角顶点时，F′N=2$\sqrt{3}$±2；

②如图5，当以M（G）为直角顶点时，F′M=4±2$\sqrt{3}$，
∴F′N=2F′M=8±4$\sqrt{3}$，
综上所述：F′N=2$\sqrt{3}$±2或F′N=8±4$\sqrt{3}$．