Question

6．如图，已知等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，D为BC延长线上一点，连AD，以AD为边在△ABC的同侧作正方形ADEF
（1）证明：AC⊥EC；
（2）求证：2DB-BC=$\sqrt{2}$EC；
（3）若AF=4，AC=2$\sqrt{2}$，连CF，则S_△ECF=12+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，连接CE，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，由全等三角形的质得到EN=DM，AM=DN，推出△CEN是等腰直角三角形，即可得到结论；
（2）过E作EH⊥CE交CF的延长线于H，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90根据余角的性质得到∠BAD=∠CAF，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，求得CH=$\sqrt{2}$CE，∠FED=∠HEC=90°，∴∠HEF=∠CED，根据全等三角形的性质得到HF=CD，等量代换即可得到结论；
（3）根据等腰直角三角形的性质得到AM=2，根据勾股定理得到DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，于是得到结论．

解答 （1）证明：如图，过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，连接CE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵∠ADM+∠EDN=∠EDN+∠DEN=90°，
∴∠ADM=∠DEN，
在△ADM和△DEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMD=∠END}\\{∠ADM=∠DEN}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△DEN，
∴EN=DM，AM=DN，
∵AM=CM，
∴CM+CD=DN+CD，
∴CN=EN，
∴△CEN是等腰直角三角形，
∴∠ECN=45°，
∴∠ACE=180°-∠ACB-∠ECN=90°，
∴AC⊥CE；

（2）证明：如图，过E作EH⊥CE交CF的延长线于H，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=90°，
∠CAF+∠CAD=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
∴∠FCE=45°，
∴CH=$\sqrt{2}$CE，
∵∠FED=∠HEC=90°，∴∠HEF=∠CED，
在△HEF与△CED中，$\left\{\begin{array}{l}{HE=EC}\\{∠HEF=∠CED}\\{EF=DE}\end{array}\right.$，
∴△HEF≌△CDE，
∴HF=CD，
∴2DB-BC=BD+CD=CF+HF=CH=$\sqrt{2}$EC，
∴2DB-BC=$\sqrt{2}$EC；

（3）∵AB=AC=2$\sqrt{2}$，
∴AM=2，
∵AD=AF=4，
∴DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴EN=CN=2$\sqrt{3}$，CF=BD=BM+DM=2+2$\sqrt{3}$，
∴S_△EFC=S_{四边形CNEF}-S_△ENC=$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{3}$+2+2$\sqrt{3}$）×$2\sqrt{3}$=12+2$\sqrt{3}$．
故答案为：12+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．