Question

10．已知A，B是抛物线y=$\frac{1}{4}$x²上的两点，且OA⊥OB．（O为原点）
（1）求A，B两点的横坐标之积和纵坐标之积；
（2）问直线AB是否恒过定点，若是，求出定点坐标，并说明理由．
（3）求△AOB面积的最小值；
（4）若抛物线上有一点C（2，1），将OA⊥OB改为CA⊥CB，直线AB是否恒过定点？若是，直接写出定点坐标，不必说明理由．

Answer 1

分析 （1）设点A的坐标为（x₁，y₁），点B的坐标为（x₂，y₂），由两点在抛物线上可得出“${y}_{1}=\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}$，${y}_{2}=\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}$”，结合OA⊥OB即两直线斜率乘积为-1可得出$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-1，将y换成x即可得出x₁•x₂的值，将其代入${y}_{1}•{y}_{2}=\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}•\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}$即可得出纵坐标的乘积；
（2）恒过定点（0，4）．设直线AB的解析式为y=kx+b，将其代入抛物线y=$\frac{1}{4}$x²中，得出关于x的一元二次方程，由根与系数的关系可求出b值，由此可断定直线AB恒过定点；
（3）利用三角形的面积公式找出S_△AOB再根据二次函数的性质即可找出最值问题；
（4）方法类似于（1）（2），不同点在于找到的为（x₁+2）（x₂+2）=-16，设的直线AB方程为y=k（x+2）+b，求出b值即可得知直线AB恒过点（-2，5）．

解答 （1）解：设点A的坐标为（x₁，y₁），点B的坐标为（x₂，y₂），
∵A，B是抛物线y=$\frac{1}{4}$x²上的两点，
∴${y}_{1}=\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}$，${y}_{2}=\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}$，
∵OA⊥OB，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-1，即$\frac{1}{4}{x}_{1}•\frac{1}{4}{x}_{2}$=-1，
∴x₁•x₂=-16，${y}_{1}•{y}_{2}=\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}•\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}$=16．
（2）恒过定点（0，4），理由如下：
设直线AB的解析式为y=kx+b．
令$\frac{1}{4}{x}^{2}$=kx+b，即x²-4kx-4b=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4b．
又∵x₁•x₂=-16，即-4b=-16，
∴b=4，
∴直线AB的解析式为y=kx+4，
当x=0时，y=4，
∴直线AB恒过定点（0，4）．
（3）S_△AOB=$\frac{1}{2}$×4×|x₂-x₁|=2$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$=2$\sqrt{16{k}^{2}+64}$≥2$\sqrt{64}$=16，
∴当k=0时，△AOB的面积的最小值为16．
（4）直线AB恒过定点（-2，5）．理由如下：
设点A的坐标为（x₁，y₁），点B的坐标为（x₂，y₂），
∵A，B是抛物线y=$\frac{1}{4}$x²上的两点，
∴${y}_{1}=\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}$，${y}_{2}=\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}$，
∵CA⊥CB，
∴$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}•\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=-1，即$\frac{1}{4}$（x₁+2）•$\frac{1}{4}$（x₂+2）=-1，
∴（x₁+2）（x₂+2）=-16．
设直线AB的解析式为y=k（x+2）+b，
令$\frac{1}{4}$x²=k（x+2）+b，即x²-4k（x+2）-4b=（x+2）²-4（k+1）（x+2）-4b+4=0，
∴（x₁+2）+（x₂+2）=4（k+1），（x₁+2）（x₂+2）=-4b+4．
又∵（x₁+2）（x₂+2）=-16，即-4b+4=-16，
∴b=5，
∴直线AB的解析式为y=k（x+2）+5，
当x=-2时，y=5，
∴直线AB恒过定点（-2，5）．

点评 本题考查了根与系数的关系、三角形的面积公式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）根据垂直关系找出$\frac{1}{4}{x}_{1}•\frac{1}{4}{x}_{2}$=-1；（2）根据根与系数的关系找出关于b的一元一次方程；（3）根据二次函数的性质解决最值问题；（4）根据根与系数的关系找出关于b的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出关于b的方程是关键．