题目内容

3．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x2+mx+n与直线y=-$\frac{1}{2}$x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），B（4，1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠BAC的值；
（3）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析 （1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得到关于m、n的方程组，从而可求得m、n；
（2）过点B作BH⊥OH，先求得点C的坐标，然后再证明△AOC和△BHC为等腰直角三角形，从而可求得∠ACB=90°，然后依据勾股定理可求得AC、BC的长，最后依据锐角三角函数的定义可求得答案．
（3）过点P作PG⊥OA，当G在点A的下方时，分为∠PAQ=∠CAB和∠PAQ=∠CBA两种情况，当点G在点A的上方，分为∠PAQ=∠CAB和∠PAQ=∠CBA两情况分类计算即可．

解答 解：（1）∵把A（0，3），B（4，1）代入y=$\frac{1}{2}$x2+mx+n得$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{8+4m+n=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=3}\\{m=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+3．
（2）过点B作BH⊥x轴于H，如图1．

∵令y=0，得：$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+3=0，解得：x1=2，x2=3，
∴点C的坐标为（3，0）．
∵B（4，1），
∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4-3=1，
∴BH=CH=1．
∵∠BHC=90°，
∴∠BCH=45°，BC=$\sqrt{2}$．
同理：∠ACO=45°，AC=3$\sqrt{2}$，
∴∠ACB=180°-45°-45°=90°，
∴tan∠BAC=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$．
（3）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似．
过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°．
设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x．
∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，
∴∠APQ=∠ACB=90°．
①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时．

∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，
∴△PGA∽△BCA．
∴$\frac{PG}{AG}=\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{3}$．
∴AG=3PG=3x．
∴P（x，3-3x）．
把P（x，3-3x）代入y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+3，得$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+3=3-3x，
整理得：x2+x=0
解得：x1=0（舍去），x2=-1（舍去）．
②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时．过点P作PG⊥y轴，垂足为G．

∵∠PAG=∠CBA，∠PGA=∠ACB=90°，
∴△PAG∽△CBA．
同理可得：AG=$\frac{1}{3}$PG=$\frac{1}{3}$x，则P（x，3-$\frac{1}{3}$x），
把P（x，3-$\frac{1}{3}$x）代入y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+3，得$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+3=3-$\frac{1}{3}$x，
整理得：x2-$\frac{13}{3}$x=0
解得：x1=0（舍去），x2=$\frac{13}{3}$，
∴P（$\frac{13}{3}$，$\frac{14}{9}$）．
如图③所示：当∠PAQ=∠CAB时，过点P作PG⊥y垂足为G．

③∵∠PAG=∠CAB，∠PGA=∠ACB，
∴△PAG∽△CAB．
∴$\frac{PG}{AG}=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$．
∴AG=3PG=3x．
设P（x，3+3x）代入y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+3，得$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+3=3+3x，
整理得：$\frac{1}{2}$x2-$\frac{11}{2}x$=0．
解得：x1=0（舍去），x2=11．
∴P（11，36）．
④如图④所示：当∠PAQ=∠CBA时．过点P作PG⊥OA，垂足为G．

∵∠PAG=∠CBA，∠PGA=∠ACB=90°，
∴△PAG∽△CBA．
同理可得：AG=$\frac{1}{3}$PG=$\frac{1}{3}$x，则P（x，3+$\frac{1}{3}$x），
把P（x，3+$\frac{1}{3}$x）代入y=$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+3，得$\frac{1}{2}$x2-$\frac{5}{2}$x+3=3+$\frac{1}{3}$x，整理得：$\frac{1}{2}$x2$-\frac{17}{6}$x=0，
解得：x1=0（舍去），x2=$\frac{17}{3}$．
∴P的坐标为P（$\frac{17}{3}$，$\frac{44}{9}$）．
综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（$\frac{13}{3}$，$\frac{14}{9}$）、（$\frac{17}{3}$，$\frac{44}{9}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义、相似三角形的性质和判定，解答本题主要应用了分类讨论的思想，依据相似三角形的性质和二次函数的关系式，列出关于x的方程是解题的关键．

练习册系列答案
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ABC
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