题目内容

11．已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点A（-1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，点D是点C关于原点的对称点，连接BD，点E是x轴上的一个动点，过点E做x轴的垂线l交抛物线于点P．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点E在线段OB上运动时，直线l交BD于点F，当四边形CDFP是平行四边形时，求E点坐标；
（3）在抛物线上是否存在点M，使△BDM是以BD为直角边的直角三角形？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据对称点，可得D点坐标，根据待定系数法，可得BD的解析式，根据平行线的对边相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据互相垂直的两直线的比例系数互为负倒数，可得BD的垂线，根据解方程组，可得M点坐标．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+2，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
二次函数解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）如图1：，
当x=0时，y=2，C点坐标为（0，2）．
由点D是点C关于原点的对称点，得D点坐标为（0，-2）．
由B（4，0），D（0，-2）可得直线BD的解析式y=$\frac{1}{2}$x-2；
设E点坐标为（m，0），得
F（m，$\frac{1}{2}$m-2），P（m，-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m+2）．
当PF=CD=4时，（-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{3}{2}$m+2）-（$\frac{1}{2}$m-2）=4，
解得m=2或m=0（舍去），
∴点E的坐标为（2，0）；
（3）如图2，
，
由B（4，0），D（0，-2）可得直线BD的解析式y=$\frac{1}{2}$x-2；得
BM的解析式为y=-2x+8，
联立BM与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+8}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$（不符合题意，舍），即M（3，2）；
B（4，0），D（0，-2）可得直线BD的解析式y=$\frac{1}{2}$x-2，得
DM的解析式为y=-2x-2，
联立DM与抛物线，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=-18}\end{array}\right.$，即M（-1，0）或（8，18）；
综上所述：点M的坐标为（3，2）、（-1，0）或（8，-18）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行四边形的对边相等得出关于m的方程是解题关键；利用互相垂直的两直线的比例系数互为负倒数得出BD的垂线是解题关键．

练习册系列答案
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（2）当AD=PE时，求证：四边形BDEP为菱形；
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19．问题情境：
我们知道若一个矩形的周长固定，当相邻两边相等，即为正方形时，面积是最大的，反过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？
探究方法：
用两条直角边分别为a、b的四个全等的直角三角形，可以拼成一个正方形，若a≠b，可以拼成如图①的正方形，从而得到a2+b2＞4×$\frac{1}{2}$ab，即a2+b2＞2ab；若a=b，可以拼成如图②的正方形，从而得到a2+b2=4×$\frac{1}{2}$ab，即a2+b2=2ab．
于是我们可以得到结论：a，b为正数，总有a2+b2≥2ab，且当a=b时，代数式a2+b2取得最小值为2ab．
另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论．
∵（a-b）2=a2-2ab+b2≥0，a2+b2≥2ab，∴对于任意实数a，b，总有a2+b2≥2ab，且当a=b时，代数式a2+b2取得最小值为2ab．
仿照上面的方法，对于正数a，b试比较a+b和2$\sqrt{ab}$的大小关系．
类比应用
利用上面所得到的结论，完成填空：
（1）当x＞0时，x2+$\frac{1}{{x}^{2}}$≥2x•$\frac{1}{x}$，代数式x2+$\frac{1}{{x}^{2}}$有最小值为2．
（2）当x＞0时，x+$\frac{9}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$，代数式x+$\frac{9}{x}$有最小值为6．
（3）当x＞2时，x+$\frac{5}{x-2}$≥2$\sqrt{（x-2）•\frac{5}{x-2}}$+2，代数式x+$\frac{5}{x-2}$有最小值为2$\sqrt{5}$+2．
问题解决：
若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由，由此你能得到怎样的结论？
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