Question

13．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=AC，∠ACB的平分线交⊙O于点P，连接PA，PB．
（1）如图①，若∠BPC=60°，试证明CP为⊙O的直径；
（2）如图②，连接AO并延长交CP于点E，交BC于点F，若AB=40，sin∠BPC=$\frac{24}{25}$，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，∠BPC=60°，易得△ABC为等边三角形，又由∠ACB的平分线交⊙O于点P，可得∠BCP=30°，即可得∠PBC=90°，证得CP为⊙O的直径；
（2）首先过点E作EG⊥AC于G，连接OB，OC，易证得∠ACP=∠PCB，即可得sin∠FOC=sin∠BPC=$\frac{24}{25}$，然后设FC=24a，则OC=OA=25a，由勾股定理，可求得a的值，然后由在Rt△AGE和Rt△AFC中，EG=EF，FC=24，AF=32，AC=40，sin∠FAC=$\frac{EG}{AE}$=$\frac{FC}{AC}$，求得答案．

解答 解：（1）∵∠BPC=60°，
∴∠BAC=∠BPC=60°．
又∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点P，
∴∠BCP=30°，
∴∠PBC=180°-∠BPC-∠BCP=90°，
∴CP为⊙O的直径．

（2）过点E作EG⊥AC于G，连接OB，OC．
∵AB=AC，AF所在的直线为⊙O的对称轴，
∴AF⊥BC，BF=CF．
∵∠ACP=∠PCB，
∴EG=EF，
∵∠BPC=$\frac{1}{2}$∠BOC=∠FOC，
∴sin∠FOC=sin∠BPC=$\frac{24}{25}$，
设FC=24a，则OC=OA=25a，
由勾股定理可得OF=7a，
∴AF=25a+7a=32a，
在Rt△AFC中，AC=$\sqrt{A{F}^{2}+F{C}^{2}}$=40a，
又∵AB=AC=40，
∴40a=40，
∴a=1，
∴FC=24，AF=32
在Rt△AGE和Rt△AFC中，
EG=EF，FC=24，AF=32，AC=40，sin∠FAC=$\frac{EG}{AE}$=$\frac{FC}{AC}$，
即$\frac{EF}{32-EF}$=$\frac{24}{40}$，解得EF=12．

点评 此题考查了圆的外接圆的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．