Question

1．在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数y=$\frac{2k}{x}$（k≠0）满足：当x＜0时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线y=-x+$\sqrt{3}$k都经过点P，且|OP|=$\sqrt{7}$，则实数k的值不存在．

Answer 1

分析 由反比例函数y=$\frac{2k}{x}$（k≠0），当x＜0时，y随x的增大而减小，可判断k＞0，设P（x，y），则P点坐标满足反比例函数与一次函数解析式，即xy=2k，y+x=$\sqrt{3}$k，又因为OP²=x²+y²，将已知条件代入，列方程求解．

解答 解：∵反比例函数y=$\frac{2k}{x}$（k≠0），当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴k＞0，
设P（x，y），则xy=2k，y+x=$\sqrt{3}$k，
∵x、y为实数，x、y可看作一元二次方程m²-$\sqrt{3}$km+2k=0的两根，
∴△=3k²-8k≥0，解得k≥$\frac{8}{3}$或k≤0（舍去），
又∵OP²=x²+y²，
∴x²+y²=7，即（x+y）²-2xy=7，
（$\sqrt{3}$k）²-4k=7，
解得k=-1或$\frac{7}{3}$，而k≥$\frac{8}{3}$，
故不存在满足条件的k．
故答案为：不存在．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．关键是根据交点坐标满足反比例函数、一次函数解析式，列方程组求解．