Question

1．如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）求证：AC²=CO•CP；
（3）若PD=$\sqrt{3}$，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）连结OA、AD，如图，利用圆周角定理得到∠CAD=90°，∠ADC=∠B=60°，则∠ACD=30°，再利用AP=AC得到∠P=∠ACD=30°，接着根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠OAP=90°，于是根据切线的判定定理可判断AP与⊙O相切；
（2）通过△ACO∽△PCA，得到$\frac{AC}{CP}$=$\frac{OC}{AP}$，由于AC=AP于是得到结论；
（3）连接AD，证得△AOD是等边三角形，得到∠OAD=60°，求得AD=PD=$\sqrt{3}$，得到OD=$\sqrt{3}$，即可得到结论．

解答 （1）证明：连结OA、AD，如图，
∵CD为直径，
∴∠CAD=90°，
∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACD=30°，
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACD=30°，
∵∠AOD=2∠ACD=60°，
∴∠OAP=180°-60°-30°=90°，
∴OA⊥PA，
∴AP与⊙O相切；

（2）证明：∵∠P=∠ACP=∠CAO=30°，
∴△ACO∽△PCA，
∴$\frac{AC}{CP}$=$\frac{OC}{AP}$，
∵AC=AP
∴AC²=CO．CP；

（3）解：连接AD，
∵AO=DO，∠ADC=60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∴∠PAD=30°，
∴∠P=∠PAD，
∴AD=PD=$\sqrt{3}$，
∴OD=$\sqrt{3}$，
∴⊙O的直径CD=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．